Действие на решение с рационални действия. Действия с рационални числа: правила, примери, решения

Тогава a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c.

Добавянето на нула не променя числото, но сумата от противоположните числа е нула.

Това означава, че за всяко рационално число имаме: a + 0 = a, a + (- a) = 0.

Умножението на рационални числа също има комутативни и асоциативни свойства. С други думи, ако a, b и c са произволни рационални числа, тогава ab - ba, a(bc) - (ab)c.

Умножението по 1 не променя рационално число, но произведението на числото и обратното му е равно на 1.

Това означава, че за всяко рационално число a имаме:

а) х + 8 - х - 22; в) a-m + 7-8+m;
б) -х-а + 12+а -12; г) 6,1 -k + 2,8 + p - 8,8 + k - p.

1190. След като изберете удобна процедура за изчисление, намерете стойността на израза:

1191. Формулирайте с думи комутативното свойство на умножението ab = ba и го проверете, когато:

1192. Формулирайте с думи асоциативното свойство на умножението a(bc)=(ab)c и го проверете, когато:

1193. Избирайки удобен ред на изчисление, намерете стойността на израза:

1194. Какво число ще получите (положително или отрицателно), ако умножите:

а) едно отрицателно число и две положителни числа;
б) две отрицателни и едно положително число;
в) 7 отрицателни и няколко положителни числа;
г) 20 отрицателни и няколко положителни? Направи заключение.

1195. Определете знака на продукта:

а) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
б) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.

а) Витя, Коля, Петя, Серьожа и Максим се събраха във фитнеса (фиг. 91, а). Оказа се, че всяко от момчетата познава само по две други. Кой кого познава? (Ръбът на графиката означава „ние се познаваме.“)

б) Братя и сестри от едно семейство се разхождат в двора. Кои от тези деца са момчета и кои са момичета (фиг. 91, б)? (Пунктираните ръбове на графиката означават „Аз съм сестра“, а плътните означават „Аз съм брат.“)

1205. Изчислете:

1206. Сравнете:

а) 2 3 и 3 2; б) (-2) 3 и (-3) 2; в) 1 3 и 1 2; г) (-1) 3 и (-1) 2.

1207. Закръглете 5,2853 до хилядни; преди стотни; до десети; до единици.

1208. Решете задачата:

1) Мотоциклетист настига велосипедист. Сега между тях има 23,4 км. Скоростта на мотоциклетист е 3,6 пъти по-голяма от скоростта на велосипедист. Намерете скоростите на велосипедиста и мотоциклетиста, ако се знае, че мотоциклетистът ще настигне велосипедиста след час.
2) Кола настига автобус. Сега между тях има 18 км. Скоростта на автобуса е същата като на лек автомобил. Намерете скоростите на автобуса и на автомобила, ако се знае, че автомобилът ще настигне автобуса след час.

1209. Намерете значението на израза:

1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).

Проверете изчисленията си с микро калкулатор.
1210. След като изберете удобен ред на изчисление, намерете стойността на израза:

1211. Опростете израза:

1212. Намерете значението на израза:

1213. Следвайте тези стъпки:

1214. Учениците получиха задача да съберат 2,5 тона метален скрап. Те събраха 3,2 тона метален скрап. С колко процента учениците са изпълнили задачата и с колко са надвишили задачата?

1215. Автомобилът е изминал 240 км. От тях 180 км тя е изминала пеша по селски път, а останалата част от пътя по магистрала. Разходът на бензин за всеки 10 км селски път беше 1,6 литра, а на магистралата - 25% по-малко. Колко литра бензин са изразходвани средно за всеки 10 км пътуване?

1216. Излизайки от селото, велосипедистът забеляза пешеходец на моста, който вървеше в същата посока и го настигна след 12 минути. Намерете скоростта на пешеходец, ако скоростта на велосипедист е 15 км/ч, а разстоянието от селото до моста е 1 км 800 м?

1217. Следвайте тези стъпки:

а) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
б) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 0,8;
в) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).

Хората, както знаете, се запознаха с рационалните числа постепенно. Отначало при броенето на предмети възникват естествени числа. Отначало бяха малко от тях. Така доскоро местните жители на островите в пролива Торес (отделящ Нова Гвинея от Австралия) имаха на езика си имената само на две числа: „урапун” (едно) и „оказ” (две). Островитяните смятали така: „Оказа-урапун” (три), „Оказа-Оказа” (четири) и т.н. Местните наричали всички числа, започвайки от седем, с дума, означаваща „много”.

Учените смятат, че думата за сто се е появила преди повече от 7000 години, за хиляда - преди 6000 години, а преди 5000 години в Древен Египет и Древен Вавилон са се появили наименования на огромни числа - до милион. Но дълго време естествената редица от числа се смяташе за крайна: хората смятаха, че има най-голямо число.

Най-великият древногръцки математик и физик Архимед (287-212 г. пр. н. е.) е измислил начин да опише огромни числа. Най-голямото число, което Архимед можеше да назове, беше толкова голямо, че за цифров запис щеше да е необходима лента, две хиляди пъти по-дълга от разстоянието от Земята до Слънцето.

Но те все още не бяха успели да запишат толкова огромни числа. Това става възможно едва след като индийските математици през 6 век. Числото нула е измислено и започва да обозначава липсата на единици в десетичните знаци на числото.

При разделянето на плячката и впоследствие при измерването на количествата и в други подобни случаи хората се сблъсквали с необходимостта от въвеждане на „счупени числа” – обикновени дроби. Операциите с дроби се смятаха за най-трудната област на математиката през Средновековието. И до ден днешен германците казват за човек, изпаднал в трудна ситуация, че е „попаднал на фракции“.

За да се улесни работата с дроби, бяха измислени десетични знаци дроби. В Европа те са въведени през X585 г. от холандския математик и инженер Саймън Стевин.

Отрицателните числа се появиха по-късно от дробите. Дълго време такива числа се смятаха за „несъществуващи“, „фалшиви“, главно поради факта, че приетото тълкуване за положителни и отрицателни числа „имущество - дълг“ доведе до объркване: можете да добавяте или изваждате „имущество“ или „дългове“, но как да разбираме работата или частната „собственост“ и „дълг“?

Но въпреки подобни съмнения и недоумения, правила за умножаване и деление на положителни и отрицателни числа са предложени през 3 век. гръцкият математик Диофант (във формата: „Това, което се изважда, умножено по това, което се добавя, дава изваждането; това, което се изважда от изваждащото, дава това, което се добавя“ и т.н.), а по-късно индийският математик Бхаскар (XII век) изрази същите правила в понятията „собственост“, „дълг“ („Продуктът от две имоти или два дълга е собственост; продуктът от собственост и дълг е дълг.“ Същото правило важи и за делбата).

Установено е, че свойствата на операциите с отрицателни числа са същите като тези с положителни числа (например събирането и умножението имат свойството комутативност). И накрая, от началото на миналия век отрицателните числа се равняват на положителните.

По-късно в математиката се появяват нови числа – ирационални, комплексни и др. Научавате за тях в гимназията.

Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В. И. Жохов, Математика за 6 клас, Учебник за гимназия

Книги и учебници по календарен план за 6 клас математика изтегляне, помагало за ученици онлайн

РЕАЛНИ ЧИСЛА II

§ 36 Действия върху рационални числа

Както знаете, две фракции м / н И к / л са равни, тоест представляват едно и също рационално число, ако и само ако ml = nk .

Например 1/3 = 2/6, тъй като 1 6 = 3 2; -5 / 7 = 10 / - 14, тъй като (-5) (- 14) = 7 10; 0/1 = 0/5, тъй като 0 5 = 1 0 и т.н.

Очевидно за всяко цяло число r , не е равно на 0,

: м / н = м r / н r

Това следва от очевидното равенство T (П r ) = П (T r ). Следователно всяко рационално число може да бъде представено като отношение на две числа по безкраен брой начини. Например,

5 = 5 / 1 = -10 / -2 = 15 / 3 и т.н.,

1 / 7 = 2 / -14 = -3 / 21 = -100 / 700 и т.н.

0 = 0 / 1 = 0 / -2 = 0 / 3 = 0 / 100 и т.н.

В набора от всички рационални числа са възможни операциите събиране, умножение, изваждане и деление (с изключение на делене на нула). Нека си припомним как се определят тези действия.

Сбор от две рационални числа м / н И к / л се определя по формулата:

Произведение на две рационални числа м / н И к / л се определя по формулата:

м / н к / л = мк / nl (2)

Тъй като едно и също рационално число може да бъде записано по няколко начина (например 1/3 = 2/6 = 3/9 = ...), би било необходимо да се покаже, че сумата и произведението на рационалните числа не зависят от как са написани условията или факторите. Например,

1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6

и т.н. Разглеждането на тези въпроси обаче е извън обхвата на нашата програма.

При събиране и умножение на рационални числа се спазват следните основни закони:

1) комутативен(или комутативен) закон за събиране

м / н + к / л = к / л + м / н

2) асоциативен(или асоциативен) закон за събиране:

( м / н + к / л ) + стр / р = м / н + ( к / л + стр / р )

3) комутативен(или комутативен) закон за умножение:

м / н к / л = к / л м / н

4) асоциативен(или асоциативен) закон за умножение:

( м / н к / л ) стр / р = м / н ( к / л стр / р )

5) разпределителен(или разпределителен) закон за умножение спрямо събиране:

( м / н + к / л ) стр / р = м / н стр / р + к / л стр / р

Събирането и умножението са основни алгебрични операции. Що се отнася до изваждането и делението, тези действия се определят като обратни на събирането и умножението.

Разликата на две рационални числа м / н И к / л този номер се нарича х , което е общо с к / л дава м / н . С други думи разликата м / н - к / л

к / л + х = м / н

Може да се докаже, че такова уравнение винаги има корен и само един:

Така разликата на две числа м / н И к / л се намира по формулата:

Ако числата м / н И к / л са равни помежду си, тогава разликата им става нула; ако тези числа не са равни едно на друго, тогава тяхната разлика е или положителна, или отрицателна. При м / н - к / л > 0 се казва, че е число м / н повече брой к / л ; ако м / н - к / л < 0, то говорят, что число м / н по-малко число к / л .

Частното на рационално число м/ нчрез рационално число к/ лтози номер се нарича х, която в продукта с к/ лдава м/ н . С други думи, частни м/ н : к/ л се определя като корен на уравнението

к/ л х = м/ н .

Ако к/ л =/= 0, тогава това уравнение има един корен

х = мл/ нк

Ако к/ л = 0, тогава това уравнение или изобщо няма корени (за м/ н =/= 0), или има безкрайно много корени (с м/ н = 0). За да направим операцията деление уникално осъществима, ние се съгласяваме изобщо да не разглеждаме деление на нула. По този начин, разделяне на рационално число м/ н чрез рационално число к/ л винаги дефиниран, освен ако к/ л =/= 0. В същото време

м/ н : к/ л = мл/ нк

Упражнения

295. Изчислете по най-рационалния начин и посочете кои закони на действие трябва да се използват;

а) (5 1/12 - 3 1/4) 24; в) (333 1/3 4) (3/125 1/16) .

б) (1/10 - 3 1/2) + 9/10

Концепцията за числата се отнася до абстракции, които характеризират даден обект от количествена гледна точка. Дори в примитивното общество хората са имали нужда да броят предмети, така че са се появили цифрови обозначения. По-късно те стават основата на математиката като наука.

За да оперирате с математически понятия, е необходимо преди всичко да си представите какви числа съществуват. Има няколко основни вида числа. Това:

1. Естествени - тези, които получаваме при номериране на обекти (тяхното естествено броене). Техният набор е означен с N.

2. Цели числа (множеството им се обозначава с буквата Z). Това включва естествени числа, техните противоположности, цели отрицателни числа и нула.

3. Рационални числа (буква Q). Това са тези, които могат да бъдат представени като дроб, чийто числител е равен на цяло число, а знаменателят е равен на естествено число. Всички са цели и класифицирани като рационални.

4. Реални (означават се с буквата R). Те включват рационални и ирационални числа. Ирационалните числа са числа, получени от рационални чрез различни операции (изчисляване на логаритъм, извличане на корен), но сами по себе си не са рационални.

По този начин всеки от изброените набори е подмножество на следните. Тази теза е илюстрирана с диаграма под формата на т.нар. кръгове на Ойлер. Дизайнът се състои от няколко концентрични овала, всеки от които е разположен в другия. Вътрешният, най-малкият овал (площ) означава набор от естествени числа. Той е напълно обхванат и включва областта, символизираща множеството от цели числа, което от своя страна се съдържа в областта на рационалните числа. Външният, най-големият овал, който включва всички останали, обозначава масив

В тази статия ще разгледаме набора от рационални числа, техните свойства и характеристики. Както вече споменахме, всички съществуващи числа (положителни, както и отрицателни и нула) принадлежат към тях. Рационалните числа образуват безкрайна серия със следните свойства:

Това множество е подредено, т.е. като вземем всяка двойка числа от тази серия, винаги можем да разберем кое е по-голямо;

Вземайки всяка двойка такива числа, винаги можем да поставим поне още едно между тях и следователно цяла поредица от тях - по този начин рационалните числа представляват безкрайна поредица;

Възможни са и четирите аритметични операции върху такива числа, резултатът от които винаги е определено число (също рационално); изключение е делението на 0 (нула) - невъзможно е;

Всички рационални числа могат да бъдат представени като десетични дроби. Тези дроби могат да бъдат крайни или безкрайно периодични.

За да сравните две числа, принадлежащи към рационалното множество, трябва да запомните:

Всяко положително число, по-голямо от нула;

Всяко отрицателно число винаги е по-малко от нула;

При сравняване на две отрицателни рационални числа по-голямо е това, чиято абсолютна стойност (модул) е по-малка.

Как се извършват операции с рационални числа?

За да съберете две такива числа с еднакъв знак, трябва да съберете техните абсолютни стойности и да поставите общ знак пред сумата. За да съберете числа с различни знаци, извадете по-малкото от по-голямата стойност и поставете знака на това, чиято абсолютна стойност е по-голяма.

За да извадите едно рационално число от друго, е достатъчно да добавите обратното на второто към първото число. За да умножите две числа, трябва да умножите техните абсолютни стойности. Полученият резултат ще бъде положителен, ако факторите имат еднакъв знак, и отрицателен, ако са различни.

Разделянето се извършва по подобен начин, т.е. намира се частното от абсолютните стойности и резултатът се предшества от знак „+“, ако знаците на дивидента и делителя съвпадат, и знак „-“, ако те не съвпадат.

Степените на рационалните числа изглеждат като продукти на няколко фактора, които са равни един на друг.

Тази статия предоставя общ преглед свойства на операциите с рационални числа. Първо се обявяват основните свойства, на които се основават всички останали свойства. След това са дадени някои други често използвани свойства на операциите с рационални числа.

Навигация в страницата.

Нека изброим основни свойства на операциите с рационални числа(a, b и c са произволни рационални числа):

• Комутативно свойство на събирането a+b=b+a.
• Комбинативно свойство на събирането (a+b)+c=a+(b+c) .
• Съществуването на неутрален елемент чрез събиране - нула, чието добавяне с произволно число не променя това число, тоест a+0=a.
• За всяко рационално число a съществува противоположно число −a, такова че a+(−a)=0.
• Комутативно свойство на умножение на рационални числа a·b=b·a.
• Комбинативно свойство на умножението (a·b)·c=a·(b·c) .
• Съществуването на неутрален елемент за умножение е единица, умножение, с което всяко число не променя това число, тоест a·1=a.
• За всяко ненулево рационално число a съществува обратно число a −1 такова, че a·a −1 =1 .
• И накрая, събирането и умножението на рационални числа са свързани чрез разпределителното свойство на умножението спрямо събирането: a·(b+c)=a·b+a·c.

Изброените свойства на операциите с рационални числа са основни, тъй като всички други свойства могат да бъдат получени от тях.

Други важни свойства

В допълнение към деветте изброени основни свойства на операциите с рационални числа, има редица много широко използвани свойства. Нека им направим кратък преглед.

Нека започнем със свойството, което се записва с букви като a·(−b)=−(a·b)или по силата на комутативното свойство на умножението като (−a) b=−(a b). От това свойство пряко следва правилото за умножение на рационални числа с различни знаци, доказателството му също е дадено в тази статия. Това свойство обяснява правилото „плюс, умножено по минус, е минус, а минус, умножено по плюс, е минус“.

Ето следния имот: (−a)·(−b)=a·b. Това предполага правилото за умножение на отрицателни рационални числа; в тази статия ще намерите и доказателство за горното равенство. Това свойство съответства на правилото за умножение „минус по минус е плюс“.

Несъмнено си струва да се съсредоточим върху умножаването на произволно рационално число a по нула: a·0=0или 0 а=0. Нека докажем това свойство. Знаем, че 0=d+(−d) за всяко рационално d, тогава a·0=a·(d+(−d)) . Свойството разпределение позволява полученият израз да бъде пренаписан като a·d+a·(−d) и тъй като a·(−d)=−(a·d) , тогава a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Така стигнахме до сбора на две противоположни числа, равни на a·d и −(a·d), сборът им дава нула, което доказва равенството a·0=0.

Лесно е да се забележи, че по-горе изброихме само свойствата на събиране и умножение, докато не казахме нито дума за свойствата на изваждане и деление. Това се дължи на факта, че върху множеството от рационални числа действията изваждане и деление са посочени съответно като обратни на събирането и умножението. Тоест разликата a−b е сумата от a+(−b), а частното a:b е произведението a·b−1 (b≠0).

Имайки предвид тези определения за изваждане и деление, както и основните свойства на събирането и умножението, можете да докажете всякакви свойства на операции с рационални числа.

Като пример, нека докажем разпределителното свойство на умножението спрямо изваждането: a·(b−c)=a·b−a·c. Важи следната верига от равенства: a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, което е доказателството.

Авторско право от cleverstudents

Всички права запазени.
Защитен от закона за авторското право. Никаква част от www.site, включително вътрешни материали и външен вид, не може да бъде възпроизвеждана под каквато и да е форма или използвана без предварителното писмено разрешение на притежателя на авторските права.